【講義】同じものを含む順列

  • 正解率:39.13%
  • 解答数:23

EXAMPLE

例題

a,a,a,b,b,cの6つのアルファベットを1列に並べるとき,並べる方法は何通りありますか。次のアに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

\[ \text{並べ方の総数:}\fbox{ア} \ \text{(通り)} \]

ア:

TEXT

テキスト解説

$n$個のもののうちで$p$個は同じもの,別の$q$個も同じもの,また別の$r$個も同じもの,$\cdots$であるとき,それらを1列に並べる順列の総数は,

\[ \frac{n!}{p! q! r! \cdots} \]

という式で表され,これを公式として利用します。

簡単な例として,A,A,Bという3つの文字を並べるとき,2つのAが$\text{A}_1$,$\text{A}_2$のように区別があれば,その並べ方は次のように$3! =6$通りが考えられます。

\[ \text{A}_1 \text{A}_2 \text{B}, \ \text{A}_2 \text{A}_1 \text{B}, \ \text{A}_1 \text{BA}_2, \ \text{A}_2 \text{BA}_1, \ \text{BA}_1 \text{A}_2, \ \text{BA}_2 \text{A}_1 \]

しかし,実際は2つのAに区別はないため,$\text{A}_1 \text{A}_2 \text{B}$と$\text{A}_2 \text{A}_1 \text{B}$はAAB,$\text{A}_1 \text{BA}_2$と$\text{A}_2 \text{BA}_1$はABA,$\text{BA}_1 \text{A}_2$と$\text{BA}_2 \text{A}_1$はBAAであり,その並べ方の総数は3通りということになります。これは,すべて区別のあるものとして並べたもの($3!$)に対して,同じものの区別をなくすために,その同じものである並べ方の総数($2!$)で割り算をする必要があるからです。この考え方は順列と組合せの違いと同じになるので,そのことをしっかりと理解しておいてください。

MOVIE

動画解説


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