バニラ，ストロベリー，チョコレートのアイスクリームがあり，どれも100円で売っています。このアイスクリームを500円分買うとき，次の場合で何通りの買い方がありますか。次のア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 含まれない種類があってもよい場合：$\fbox{ア}$（通り）
2. 全部の種類を含む場合：$\fbox{イ}$（通り）

$n$個の異なるものから，重複を許して$r$個とる組合せを，$n$個から$r$個とる重複組合せといいます。

3個の異なるものから2個とる組合せの例として，A，B，Cというアルファベット3文字から2文字を選ぶ場合，

\[ \text{(A, B)}, \quad \text{(A, C)}, \quad \text{(B, C)} \]
という$_3 \text{C}_2 =3$通りの組合せが考えられますが，重複してとることが許される場合では，
\[ \text{(A, A)}, \quad \text{(A, B)}, \quad \text{(A, C)}, \quad \text{(B, B)}, \quad \text{(B, C)}, \quad \text{(C, C)} \]

という6通りの場合が考えられますが，通常の組合せとは異なるため，このままでは計算で求めることができません。そこで，選ばれる数と同じだけの$\bigcirc$と，種類を区別するためのしきり（$\text{種類の数} -1$）を用意します。ここの例では，2個を選ぶので2つの「$\bigcirc$」と，A，B，Cの3種類を区別するために2つのしきり「|」を用意します。そうすることで，2つのしきりの左にある$\bigcirc$はA，2つのしきりの間の$\bigcirc$はB，2つのしきりの右にある$\bigcirc$はCであると考えます。

\[ \begin{array}{cccccc}
\text{(A, A)} & \text{(A, B)} & \text{(A, C)} & \text{(B, B)} & \text{(B, C)} & \text{(C, C)} \\
\bigcirc \bigcirc || & \bigcirc | \bigcirc | & \bigcirc || \bigcirc & | \bigcirc \bigcirc | & | \bigcirc | \bigcirc & || \bigcirc \bigcirc
\end{array} \]

このことから，2つの「$\bigcirc$」と2つの「|」の並べ方の総数と，3個の異なるものから重複を許して2個とる組合せの総数は同じになるので，

\[ _4 \text{C}_2 =\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} =6 \ \text{（通り）} \]

と組合せ（もしくは，同じものを含む順列の公式）を利用して計算で求めることができます。このように，重複組合せは「$\bigcirc$」と「|」を使って考えられることをしっかりとおさえておきましょう。