次の各組の数の大小を考えて，ア，イに当てはまる不等号を半角英数字で入力しなさい。

1. \( \sqrt{19} \ \fbox{ア} \ \sqrt{20} \)
2. \( 4 \ \fbox{イ} \ \sqrt{13} \)

ここではまず，電卓を使って平方根の値を求めてみます。

例えば，「\( \sqrt{1} \)」の値は，電卓の「1」のボタンを押し，次に「\( \sqrt{　} \)」のボタン（電卓によっては「\( \sqrt{　} \)」のボタンがないものもあります）を押すと，「1」と電卓の液晶に表示されます。「\( \sqrt{　} \)」のボタンを押しても何の変化もないと思いますが，これは電卓が故障しているわけではなく，\( \sqrt{1} \)の値が1になるからです。

次に，\( \sqrt{2} \)の値も同じようにして，まず，電卓の「2」のボタンを押し，次に「\( \sqrt{　} \)」のボタンを押すと，「1.4142135」というような数字が電卓の液晶に表示されます（電卓の種類によって表示される桁は異なります）。しかし，\( \sqrt{2} \)の値は限りなく続くので，電卓の液晶にはその一部が表示されていることになります。つまり，実際は

\[ \sqrt{2} =1.4142135 \cdots \cdots \]

となっていることになります。

他の自然数についても同じように電卓を使って平方根の値を求めてみると，

• \( \sqrt{1} =1 \)
• \( \sqrt{2} =1.4142135 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{3} =1.7320508 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{4} =2 \)
• \( \sqrt{5} =2.2360679 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{6} =2.4492897 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{7} =2.6457513 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{8} =2.8284271 \cdots \cdots \)
• \( \sqrt{9} =3 \)
• \( \sqrt{10} =3.1622776 \cdots \cdots \)

のようになります。

\( \sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5} \)のおおよその値はよく使用され，語呂合わせを使った覚え方があるので紹介します。

• \( \sqrt{2} \)：ひとよひとよにひとみごろ（一夜一夜に人見頃） \( \longrightarrow 1.41421356 \)
• \( \sqrt{3} \)：ひとなみにおごれや（人並みにおごれや） \( \longrightarrow 1.7320508 \)
• \( \sqrt{5} \)：ふじさんろくおうむなく（富士山麓オウム鳴く）　\( \longrightarrow 2.2360679 \)

電卓を使って平方根の値を求めましたが，その値を比べてみると，平方根には

\[ \sqrt{1} <\sqrt{2} <\sqrt{3} <\sqrt{4} <\sqrt{5} <\sqrt{6} <\sqrt{7} <\sqrt{8} <\sqrt{9} <\sqrt{10} <\cdots \]

という関係があることがわかります。つまり，正の数\( a, \ b \)について，

\[ a < b \ \textbf{ならば} \ \sqrt{a} <\sqrt{b} \]

というように，根号のついた正の数の大小は，根号内の数の大小と同じ関係があることになります。