次の問いについて，アに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

異なる6個の玉を金の台にのせ，円形に並べてアクセサリーを作るとき，全部で$\fbox{ア}$通りできます。

いくつかのものを円形に並べる順列を円順列といいます。異なる$n$個の順列の総数は$n!$で表されましたが，異なる$n$個の円順列の総数は$(n -1)!$で表されます。

例えば，A，B，C，Dの4人を1列に並べるとき，その並べ方の総数は，

\[ 4! =24 \quad \text{（通り）} \]

になります。それに対して，4人を円形に並べる場合では，次の図のように，一見すると違う並びに見えても，回転して重なる並び（Aを基準に反時計回りにB，C，Dが並んでいる）は同じものとみなします。

すると，ある円形の並べ方において，それと回転して同じになる並びは4通り（Aを基準にして考えると，その配置で回転させたときのAの位置は4か所考えられる）ずつあるので，円順列の総数は，

\begin{align}
\text{（異なる4個の円順列の総数）} \times 4 &=\text{（異なる4個の順列の総数）} \\
\text{（異なる4個の円順列の総数）} &=\frac{\text{（異なる4個の順列の総数）}}{4} \\
&=\frac{4!}{4} \\
&=(4 -1)! \\
&=3! =6 \quad \text{（通り）}
\end{align}

異なる$n$個の円順列においても同様にして，ある円形の並べ方において，それと回転して同じになる並びは$n$通りずるあるので，その総数は，

\begin{align}
\text{（異なる$n$個の円順列の総数）} \times n &=\text{（異なる$n$個の順列の総数）} \\
\text{（異なる$n$個の円順列の総数）} &=\frac{\text{（異なる$n$個の順列の総数）}}{n} \\
&=\frac{n!}{n} \\
&=(n -1)!
\end{align}

になります。

もしくは，円順列では回転してしまうことで同じ並びが含まれてしまうので，回転を考えなくても済むように，$n$個のうち1つを固定してしまいます。すると残りの$(n -1)$個を並べればよいので，その並べ方の総数を考えて，

\[ \text{（異なる$n$個の円順列の総数）} =(n -1)! \]

になると考えることもできます。こちらの考え方の方が応用しやすいので，まなびの学園ではこちらの考え方を用いて解説をしていきます。