【講義】置き換えによる連立方程式

  • 正解率:100.00%
  • 解答数:2

EXAMPLE

例題

次の連立方程式を解き,ア~エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

\begin{cases}
\displaystyle \frac{3}{x} -\frac{1}{y} =4 \\
\displaystyle \frac{1}{x} +\frac{2}{y} =6
\end{cases}
\[ x =\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}, \ \ \ \ \ y =\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \]

ア:
イ:
ウ:
エ:

TEXT

テキスト解説

\(\displaystyle \frac{2}{x} +\frac{3}{y} =1 \)のように分母に\( x \),\( y \)などの文字を持つ方程式は,分数でない形にする(分母を払う)ために\( xy \)を両辺に掛けると,

\begin{align}
\left( \frac{2}{x} +\frac{3}{y} \right) \times xy &=1 \times xy \\
2y +3x &=xy \\
xy -3x -2y &=0
\end{align}

となり,\( xy \)は文字を2つ含む2次の項なので1次方程式ではありません。そのため分母に\( x \),\( y \)などの文字を持つ連立方程式は,今までの連立方程式の解法で解くことができません。しかし,

\[ \frac{1}{x} =X, \ \ \ \ \ \frac{1}{y} =Y \]

と文字を置き換えると,

\[ \frac{2}{x} +\frac{3}{y} =1 \longrightarrow 2X +3Y =1 \]

のようにして,\( X \)と\( Y \)についての2元1次方程式になるので,今までの連立方程式の解法(加減法や代入法)で解く(\( X \),\( Y \)の値を求める)ことができます。このとき,\( X \),\( Y \)はそれぞれ\( x \),\( y \)の逆数なので,\( X \),\( Y \)の逆数が求める\( x \),\( y \)の値になります。

MOVIE

動画解説


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