【講義】比例式

  • 正解率:60.00%
  • 解答数:5

EXAMPLE

例題

次の式で\( x \)の値を求め,ア,イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

  1. \( 4 : 5 =12 : x \)
    \[ x = \fbox{ア} \]
  2. \( 6.3 : x =7 : 5 \)
    \[ x = \fbox{イ} \]
ア:
イ:

TEXT

テキスト解説

比を\( a : b \) と表したとき,\( a \)を前項,\( b \)を後項といい,\( a \)には比べる量,\( b \)にはもとにする量が入ります。そして,比\( a : b \) に対し,\( a \)を\( b \)で割った値\(\displaystyle \frac{a}{b} \) を比の値といいます。

\( a : b \) の比の値を考えるとき,\(\displaystyle \frac{a}{b} \) なのか\(\displaystyle \frac{b}{a} \) なのか迷うときがあると思います。\( a \)と\( b \)のどちらが比べる量で,どちらがもとにする量なのかがはっきりわかっている人は,そのように迷うこともないと思いますが,記号「:」の真ん中に横棒を入れて「÷」にし,割り算を分数で表すことによって,比から比の値への変換を考えることができます。

\[ a : b \longrightarrow a \div b \longrightarrow a/b \longrightarrow \frac{a}{b} \]

「\( 2 : 3 \)」と「\( 6 : 9 \)」のような2つの比があり,その比の値が,

\[ 2 : 3\textbf{の比の値:}\frac{2}{3}, \ \ \ \ \ 6 :9\textbf{の比の値:}\frac{6}{9} =\frac{2}{3} \]

のように同じになるとき,それらの比は等しいといい,

\[ 2 : 3 =6 : 9 \]

と表せ,このような式を比例式といいます。

また,

\[ a : b =c : d \cdots \cdots ① \]

であるとき,2つの比の比の値は等しいので,

\[ \frac{a}{b} =\frac{c}{d} \]

のように書き表すことができ,これも比例式です。そして,分母をはらうため,両辺に「\( bd \)」を掛けると,

\begin{align}
\frac{a}{b} \times bd &=\frac{c}{d} \times bd \\
ad &=bc \cdots \cdots ②
\end{align}

となります。①の式から,\( ad \) は等号をはさんで外側の項(これを「外項」といいます)の積,\( bc \) は等号をはさんで内側の項(これを「内項」といいます)の積になっているので,2つの比が等しいとき,

\[ \textbf{(外項の積)} =\textbf{(内項の積)} \]

という関係が成り立ちます。

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