【講義】根号のついた数

  • 正解率:100.00%
  • 解答数:5

EXAMPLE

例題

次の値を求め,ア~エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

  1. \( (\sqrt{5})^2 =\fbox{ア} \)
  2. \( (-\sqrt{5})^2 =\fbox{イ} \)
  3. \( \sqrt{5^2} =\fbox{ウ} \)
  4. \( \sqrt{(-5)^2} =\fbox{エ} \)
ア:
イ:
ウ:
エ:

TEXT

テキスト解説

根号のついた数と2乗(平方)との間には,次のような関係があります。(ただし,\( a \)は正の数とします。)

  1. \( (\sqrt{a})^2 =a \)
    \( \sqrt{a} \)は,「\( a \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「\( □^2 =a \)」となるような□に当てはまる正の数を表しているので,そのような数を2乗すればもちろん\( a \)になります。
  2. \( (-\sqrt{a})^2 =a \)
    \( -\sqrt{a} \)は,「\( a \)の平方根のうち負のもの」を表します。つまり,「\( □^2 =a \)」となるような□に当てはまる負の数を表しているので,そのような数を2乗すればもちろん\( a \)になります。
  3. \( \sqrt{a^2} =a \)
    \( \sqrt{a^2} \)は,「\( a^2 \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「\( □^2 =a^2 \)」となるような□に当てはまる正の数のことです。「\( a^2 \)」の平方根には,

    \[ a \times a =a^2, \ \ \ \ \ (-a)^2 =(-a) \times (-a) =a^2 \]

    のように,\( a \)と\( -a \)の2つがありますが,そのうちの正のものであるので,

    \[ \sqrt{a^2} =a \]

    という関係が成り立ちます。

  4. \( \sqrt{(-a)^2} =a \)
    \( \sqrt{(-a)^2} \)は,「\( (-a)^2 \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「\( □^2 =(-a)^2 \)」となるような□に当てはまる正の数のことです。この式だけを見ると,□に当てはまるのは

    \[ □=-a \]

    のように考えられるので,

    \[ \sqrt{(-a)^2} =-a \]

    としたくなりますが,\( \sqrt{(-a)^2} \)は正の数,\( -a \)は負の数であるので等しくはありません。\( \sqrt{□} \)は,「□の平方根のうち正のもの」を表すので注意が必要です。\( (-a)^2 \)は,

    \[ (-a)^2 =(-a) \times (-a) =a^2 \]

    となるので,\( \sqrt{(-a)^2} \)も結局\( \sqrt{a^2} \)と同じものを表します。そのため,\( -a \)が「\( (-a)^2 \)の平方根のうち負のもの」を,\( a \)が「\( (-a)^2 \)の平方根のうち正のもの」を表すことになるので,

    \[ \sqrt{(-a)^2} =a \]

    という関係が成り立ちます。

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