外角の2等分線と線分の比

【解説】

次の図のように，辺ABの延長上にある点をP，△ABCの頂点Aにおける外角の二等分線と対辺BCの延長との交点をQとします。

また，頂点Cを通り，AQに平行な直線を引き，ABとの交点をDとすると，平行線の同位角，錯角は等しくなるので，

∠ADC=∠PAQ（同位角），∠DCA=∠CAQ（錯角）

になります。すると，△ADCは，∠ADC=∠ACDより二等辺三角形になるので，

AD=AC……①

となります。

また，AQ//DCより，平行線と線分の比の関係から，

BQ:CQ=BA:DA……②

となり，①，②より

AB:AC=BQ:QC

という関係が導き出され，外角の二等分線とその対辺の延長との交点は，その内角をはさむ2辺の比に対辺を分割する点になります。