内角の2等分線と線分の比

【解説】

次の図のように，△ABCの∠Aの二等分線と対辺BCとの交点をPとします。

また，頂点Cを通り，APに平行な直線を引き，BAの延長との交点をDとすると，平行線の同位角，錯角は等しくなるので，

∠ADC=∠BAP（同位角），∠ACD=∠CAP（錯角）

となります。

すると，△ACDは，∠ACD=∠ADCより二等辺三角形になるので，

AC=AD……①

となります。

また，AP//DCより，平行線と線分の比の関係から

BP:PC=BA:AD……②

となり，①，②より，

AB:AC=BP:PC

という関係が導き出され，角の2等分線と対辺の交点は，その角をはさむ2辺の比に対辺を分割した点になります。