底辺の等しい三角形の面積比

【解説】

次の図のような△ABCと△ACDの底辺をそれぞれ,BC,CDであるとすると,2つの三角形の高さが等しくなるので,その面積比は底辺の比に等しくなり,

△ABC:△ACD=a:b

となりました。

ここで,点B,DからACに垂線を引き,ACまたはその延長との交点をそれぞれH,Iとします。このとき,2つの三角形の底辺をACであるとすると,△ABCと△ACDの面積比は,

と表すことができ,底辺の等しい三角形の面積比は,高さの比に等しくなります。

また,△BHCと△DICにおいて,

∠BHC=∠DIC=90°,∠HCB=∠ICD(対頂角)

より,2組の角がそれぞれ等しいので,△BHC∽△DIC。相似な図形の対応する辺の比は等しいので,

BH:DI=BC:DC=a:b……②

となり,高さの比をa:bで表すことができます。よって,①,②より,△ABCと△ACDの面積比は,

△ABC:△ACD=a:b

と表され,次のような図においても,底辺がACで等しいので,面積比は高さの比になり,その面積比△ABC:△ACDはすべてa:bになります。

【例題】

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【演習問題】

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