内角の2等分線と線分の比

【解説】

次の図のように,△ABCの∠Aの二等分線と対辺BCとの交点をPとします。

また,頂点Cを通り,APに平行な直線を引き,BAの延長との交点をDとすると,平行線の同位角,錯角は等しくなるので,

∠ADC=∠BAP(同位角),∠ACD=∠CAP(錯角)

となります。

すると,△ACDは,∠ACD=∠ADCより二等辺三角形になるので,

AC=AD……①

となります。

また,AP//DCより,平行線と線分の比の関係から

BP:PC=BA:AD……②

となり,①,②より,

AB:AC=BP:PC

という関係が導き出され,角の2等分線と対辺の交点は,その角をはさむ2辺の比に対辺を分割した点になります。

【例題】

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【演習問題】

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