v-tグラフ

【解説】

縦軸に速度$v$,横軸に時刻$t$をとって表したグラフを$v -t$グラフといいます。

$v -t$グラフでは,ある時刻における物体の速度を知ることができるので,上の図のような$v -t$グラフにおいて,時刻$t_1$における物体の速度を$v_1$,時刻$t_2$における物体の速度を$v_2$とすると,2点A,Bを結ぶ直線の傾きは,

$$(\text{直線ABの傾き}) =\frac{v_2 -v_1}{t_2 -t_1} =\frac{\Delta v}{\Delta t} =a$$

となり,時間$\Delta t =t_2 -t_1$の平均の加速度$a$を表すことになります。

ここで,$\Delta t$を限りなく0に近づける(2点A,Bを限りなく近づける)と,2点を結ぶ直線は曲線の接線になり,その接線の傾きは,その時刻における瞬間の加速度を表すことになります。

上の図のように,速度が一定であるような$v-t$グラフでは,影の付いた部分は長方形になるので,その面積は,

$$(影の付いた部分の面積)=v_0 \times (t_2 -t_1) =v_0 \times \Delta t$$

となります。ここで,速度の定義式$\displaystyle v =\frac{\Delta x}{\Delta t}$より,

$$\Delta x =v \Delta t \longrightarrow (移動距離)=(速さ) \times(時間)$$

と表すことができるので,図の影の付いた部分の面積は$\Delta t$の間に進んだ物体の移動距離を表すことになります。

つまり,$v -t$グラフと横軸で囲まれた部分の面積は,物体の移動距離を表すことになります。(一般的に,〇-△グラフの横軸で囲まれた部分の面積は,横軸と縦軸の要素の積に相当するものになります。)このことは,$v -t$グラフがどのような曲線でも成り立ちます。さらに,$v -t$グラフの速度が負になっている部分の面積(t軸よりも下の部分の面積)を負の面積として計算すると,物体の位置を求めることができます。

これらのことから,$v -t$グラフは,物体の運動において重要な位置,速度,加速度を読み取ることができるので,よく利用されるものになります。

【例題】

【解説動画講義(理論)】

【演習問題】

【解説動画講義(演習)】

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