補角をなす三角形の面積比

【解説】

2つの角∠A,∠Bが,∠A+∠B=180°となるとき,∠Aと∠Bは,たがいに補角の関係にあるといいます。

ここで次の図のように,1組の角(∠BCAと∠ECD)がたがいに補角をなす(∠BCA+∠ECD=180°)三角形(△ABCと△ECD)の面積比を考えます。

△EBCと△ECDは,底辺をそれぞれBC,CDであるとすると,2つの三角形の高さは等しいので,面積比は底辺の比に等しくなり,

△EBC:△ECD=BC:CD=a:c(=ad:cd)……①

また,△ABCと△EBCも,底辺をそれぞれCA,CEとすると,2つの三角形の高さは等しいので,面積比は底辺の比に等しくなり,

△ABC:△EBC=CA:CE=b:d(=ab:ad)……②

①,②より,

△ABC:△ECD=ab:cd

となり,1組の角がたがいに補角をなす三角形の面積比は,補角の関係にある角をはさむ2辺の積の比に等しくなります。

【例題】

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【演習問題】

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