線分の比と平行線

【解説】

次の図のように,△ABCの2辺AB,AC上に,それぞれ点P,Qがあるとします。

このとき,AP:AB=AQ:ACであるとすると,△APQと△ABCで,仮定より,

AP:AB=AQ:AC……①

また,∠Aは2つの三角形において共通な角であるので,

∠PAQ=∠BAC……②

①,②より,2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので,

△APQ∽△ABC

相似な図形の対応する角の大きさは等しいので,

∠APQ=∠ABC

よって,同位角が等しいので,

PQ//BC

という関係が成り立ちます。

また,AP:PB=AQ:QCであるとき,

AP:PB=AQ:QC=m:n

とすると,

AP:AB=m:(m+n),AQ:AC=m:(m+n)

よって,

AP:AB=AQ:AC

となるので,このときもPQ//BCという関係が成り立つことになります。

以上のことから,△ABCの2辺AB,AC上に,それぞれ点P,Qがあるとき,

  • AP:AB=AQ:ACならばPQ//BC
  • AP:PB=AQ:QCならばPQ//BC

という関係が成り立ちます。

2つの直線が平行であることを示すには,「同位角や錯角が等しい」というように,「角」についての条件がほとんどでしたが,ここで学習したように,「線分の比」を利用することでも,2つの直線が平行であることを示すことができます。

【例題】

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【演習問題】

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