相似な三角形の面積比

【解説】

次の図のように，相似な2つの三角形△ABCと△DEFの相似比がp:qであるとします。

相似な2つの三角形の対応する角の大きさは等しいので，その角をそろえるように2つの三角形を重ねることができます。

そこで，2つの三角形を∠Bと∠Eをそろえるように並べると，∠B（∠E）を共有していると考えることができるので，2つの三角形の面積比は，

となり，相似な三角形の面積比は，相似比の2乗の比になります。

また，このことは，三角形の面積を直接求めることでも，

と求めることができます。

平面図形の面積は，

長方形の面積=（縦の長さ）×（横の長さ），平行四辺形の面積=（底辺の長さ）×（高さ）

などのように，2つの長さの積により求めることができるので，対応する部分の長さがk倍なら，2つの長さはそれぞれk倍され，面積はk²倍になります。つまり，相似な三角形のときだけではなく，相似な平面図形であれば，対応する部分の長さがk倍のとき，面積はk²になり，相似な図形の面積比は，相似比の2乗の比になります。