方べきの定理の逆

【解説】

次の図のように,2つの線分AB,CD,またはその延長の交点をPとします。

このとき,PA×PB=PC×PDであるとすると,△PACと△PDBにおいて,

PA:PD=PC:PB……①

また,

∠APC=∠DPB……②

①,②より,2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので,

△PAC∽△PDB

相似な図形の対応する角の大きさは等しいので,

∠CAP=∠BDP

となります。このことから,(i)は内接四角形の性質の逆,(ii)は円周角の定理の逆により,それぞれ4点A,B,C,Dは同一円周上にあることがわかり,方べきの定理の逆が成り立ちます。

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