接弦定理

【解説】

次の図のような円に内接する四角形APBCを考えます。(直線ATは点Aにおける円の接線)

このとき,円に内接する四角形の性質から,1つの外角の大きさは,それと隣り合う内角の対角の大きさに等しいので,

∠BCA=∠BPQ

となります。

ここで,A,B,Cを固定したままPを円周上に沿ってAに近づけていくと,∠BPQと∠BATは一致します。

このことから,

∠BCA=∠BAT(=∠BPQ)

となることが予想されます。実際に,「円の接線とその接点を通る弦のつくる角は,その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」ということが成り立ち,これを接弦定理といいます。

  1. ∠BATが鋭角であるとき

    直径ADを引くと,∠BDA,∠BCAはに対する円周角であるので,
    ∠BDA=∠BCA……①
    円の中心と接点を結んだ直線は,接線と垂直に交わるので∠DAT=90°。このことから,
    ∠BAT=∠DAT-∠DAB=90°-∠DAB……②
    また,ADは円Oの直径であるので,半円の弧に対する円周角∠ABD=90°。よって,△DABの内角の和は180°になることから,

    ①~③より,∠BCA=∠BAT
  2. ∠BATが直角(∠BAT=90°)のとき

    ABは円Oの直径であるので,半円の弧に対する円周角は90°になることから,∠BCA=90°。よって,
    ∠BCA=∠BAT
  3. ∠BATが鈍角であるとき

    図のように,線分ABに対しCと反対側の円周上に点Dをとります。∠BATが鈍角のとき,∠SABは鋭角であるので,1より,
    ∠SAB=∠ADB……④
    一直線の作る角は180°であるので,

    また,円に内接する四角形の向かい合う内角の和は180°であるので,

    ④~⑥より,
    ∠BCA=∠BAT

【例題】

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