平行線と線分の比

【解説】

次の図のように,△ABCの2辺AB,AC上に,PQ//BCとなるように2点P,Qをとります。

このとき,△APQと△ABCで,PQ//BCより,同位角は等しいので,

∠APQ=∠ABC……①

∠PQA=∠BCA……②

①,②より,2組の角がそれぞれ等しいので,

△APQ∽△ABC

相似な図形の対応する辺の比は等しいので,

AP:AB=AQ:AC=PQ:BC

となります。

このとき,次の図のように,

AP:AB=AQ:AC=m:n

とすると,

AP:PB=m:(n-m),AQ:QC=m:(n-m)

となるので,

AP:PB=AQ:QC

という関係が成り立ちます。

ここで,次の図のように,平行な3直線l,m,nに2本の直線が交わり,その交点をそれぞれA,B,C,D,E,Fとします。

さらに,点Aと点Fを結び,AFと直線mとの交点をGとすると,m//nより,

AB:BC=AG:GF……③

同様にして,l//mより,

AG:GF=DE:EF……④

よって,③,④より,

AB:BC=DE:EF

という関係が成り立ち,以上のことから,平行線によって分割された線分の比は等しくなります。

【例題】

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【演習問題】

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