平行線と線分の比

【解説】

次の図のように，△ABCの2辺AB，AC上に，PQ//BCとなるように2点P，Qをとります。

このとき，△APQと△ABCで，PQ//BCより，同位角は等しいので，

∠APQ=∠ABC……①

∠PQA=∠BCA……②

①，②より，2組の角がそれぞれ等しいので，

△APQ∽△ABC

相似な図形の対応する辺の比は等しいので，

AP:AB=AQ:AC=PQ:BC

となります。

このとき，次の図のように，

AP:AB=AQ:AC=m:n

とすると，

AP:PB=m:(n-m)，AQ:QC=m:(n-m)

となるので，

AP:PB=AQ:QC

という関係が成り立ちます。

ここで，次の図のように，平行な3直線l，m，nに2本の直線が交わり，その交点をそれぞれA，B，C，D，E，Fとします。

さらに，点Aと点Fを結び，AFと直線mとの交点をGとすると，m//nより，

AB:BC=AG:GF……③

同様にして，l//mより，

AG:GF=DE:EF……④

よって，③，④より，

AB:BC=DE:EF

という関係が成り立ち，以上のことから，平行線によって分割された線分の比は等しくなります。