円周角の定理の逆

【解説】

3つの点を取る円は必ずかくことができますが,4つ以上の点を通る円は必ずかくことができるわけではありません。そこで,ここでは4つの点が同一円周上にある条件(共円条件)について考えます。

次の図のように,円Oの周上に3点A,B,Cをとります。

図の色付きの図形のように,円の弧と弦とで囲まれた図形を弓形といい,弧ABと弧上の点Cを用いて,「弓形ACB」といいます。

ここで,弧ABに対する円周角∠BCAの大きさをxとし,直線ABに対してCと同じ側に点Pをとりますが,点Pのとり方には,次の3つの場合が考えられます。

  1. 点Pが弓形ACBの内部にある場合

    APの延長と円との交点をQとすると,∠BQAはに対する円周角であるので,円周角の定理から,
    ∠BQA=∠BCA=x
    ∠BPAは,△QPBに着目すると∠QPBの外角になるので,

    となり,に対する円周角よりも大きくなります。
  2. 点Pが弓形ACBの弧上にある場合

    ∠APBはに対する円周角であるので,円周角の定理から,
    ∠BPA=∠BCA=x
  3. 点Pが弓形ACBの外部にある場合

    APと円との交点をQとすると,∠BQAはに対する円周角であるので,円周角の定理から,
    ∠BQA=∠BCA=x
    ∠BQAは,△PQBに着目すると∠PQBの外角になるので,

    となり,∠APBはに対する円周角よりも小さくなります。

以上のことをまとめると,

という関係があることになります。

このことから,4点A,B,C,Pについて,点C,Pが直線ABに対して同じ側にあり,

∠BPA=∠BCA

ならば,点Pは3点A,B,Cを通る円(円O)の円周上に存在する(円の内部や外部には存在しない)ので,4点A,B,C,Pは同一円周上にあることになり,円周角の定理の逆が成り立つことがわかります。

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