三平方の定理の逆

【解説】

図のような3辺の長さで,a2+b2=c2である△ABCと,∠R=90°である△PQRがあります。

△PQRは∠R=90°の直角三角形であるので,三平方の定理より,

a2+b2=x2……①

また,仮定より,

a2+b2=c2……②

であるので,①,②より

x2=c2

xもcも辺の長さであるので,

x>0,c>0より x=c

よって,△ABCと△PQRは,3辺の長さがそれぞれ等しいので,

△ABC≡△PQR

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので,

∠C=∠R=90°

となります。

このことから,次の図のような△ABCで,BC=a,CA=b,AB=cとするとき,△ABCが∠C=90°の直角三角形であれば,

a2+b2=c2

という三平方の定理が成り立ちましたが,これとは逆に,△ABCで,

a2+b2=c2ならば∠C=90°

という関係が成り立つことになります。

【例題】

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