【講義】おうぎ形の弧の長さと面積

  • 正解率:11.11%
  • 解答数:9

EXAMPLE

例題

次のようなおうぎ形の弧の長さと面積を求め,ア~カに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

  1. 半径4cm,中心角60°
    \begin{align}
    &\textbf{(おうぎ形の弧の長さ)} =\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi \quad (\text{cm}) \\
    &\textbf{(おうぎ形の面積)} =\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\pi \quad (\text{cm}^2)
    \end{align}
  2. 半径5cm,中心角144°
    \begin{align}
    &\textbf{(おうぎ形の弧の長さ)} =\fbox{オ}\pi \quad (\text{cm}) \\
    &\textbf{(おうぎ形の面積)} =\fbox{カ}\pi \quad (\text{cm}^2)
    \end{align}
ア:
イ:
ウ:
エ:
オ:
カ:

TEXT

テキスト解説

次の図のように,おうぎ形は円の一部分です。そこで,中心角が360度になっているおうぎ形が円であると考えると,中心角が\( x \)度のおうぎ形は,円の\(\displaystyle \frac{x}{360} \)(円を360等分したときの\( x \)個分)になります。

このことから,半径\( r \),中心角\( x \)度のおうぎ形の弧の長さと面積は,次のようにして求めることができます。

\begin{align}
\textbf{(おうぎ形の弧の長さ)} &=\textbf{(円の周の長さ)} \times \frac{x}{360} \\
&=2 \pi r \times \frac{x}{360} \\
\textbf{(おうぎ形の面積)} &=\textbf{(円の面積)} \times \frac{x}{360} \\
&=\pi r^2 \times \frac{x}{360}
\end{align}

このとき,おうぎ形の弧の長さを\( l \)とすると,

\begin{align}
\textbf{(おうぎ形の面積)} &=\pi r^2 \times \frac{x}{360} \\
&=\frac{1}{2} \times 2 \times \pi r \times r \times \frac{x}{360} \\
&=\frac{1}{2} \times \left( 2 \pi r \times \frac{x}{360} \right) \times r \\
&=\frac{1}{2}lr
\end{align}

のように表され,おうぎ形の面積は,底辺\( l \),高さ\( r \)の三角形の面積を求めるものだと考えることができます。

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