次の値を求め，ア～カに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. $4! =\fbox{ア}$
2. $5! =\fbox{イ}$
3. $6! =\fbox{ウ}$
4. $_5 \text{P}_3 =\fbox{エ}$
5. $_{45} \text{P}_2 =\fbox{オ}$
6. $\displaystyle \frac{95!}{93!} =\fbox{カ}$

いくつかのものに順序をつけて1列に並べたものを順列といい，$n$個の異なるものから$r$個取り出して1列に並べるとき，この順列を$n$個のものから$r$個取る順列といいます。この順列の総数は，「順列」を意味する英単語「permutation」の頭文字「P」を用いて，$_n \text{P}_r$と表されます。

$n$個の異なるものから$r$個取り出して1列に並べるとき，次の図のように考えることができます。

このことから積の法則より，

\[ _n \text{P}_r =n(n -1)(n -2) \cdots (n -r +1) \]

となり，その総数は$n$から順に1ずつ減らした$r$個の積で求めることができます。ここで，$r =n$のとき，つまり，$n$個のものすべてを並べる順列（$n$個の異なるものから$n$個取り出して1列に並べる順列）の総数を考えると，

\[ _n \text{P}_n =n(n -1)(n -2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

となり，これを記号「$!$」を使って，

\[ _n \text{P}_n =n! \ \text{（$n$の階乗）} \]

と簡略化して表すこともあります。

この階乗を使って$_n \text{P}_r$を表すことを考えると，

\begin{align}
_n \text{P}_r &=n(n -1)(n -2) \cdots (n -r +1) \\
&=n(n -1)(n -2) \cdots (n -r +1) \times \frac{(n -r)(n -r -1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{(n -r)(n -r -1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&=\frac{n(n -1)(n -2) \cdots (n -r)(n -r -1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{(n -r)(n -r -1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&=\frac{n!}{(n -r)!} \cdots \cdots ①
\end{align}

となります。ここで，$r =n$のとき①の式は，

\[ _n \text{P}_n =\frac{n!}{0!} \]

となり，左辺は$_n \text{P}_n =n!$です。つまり，①の式は，

\[ n! =\frac{n!}{0!} \]

と表されるので，この式を成り立たせるためには，

\[ 0! =1 \]

でなくてはなりません。また，$r =0$のとき①の式は，

\[ _n \text{P}_0 =\frac{n!}{n!} =1 \]

となります。以上のことから，

\[ 0! =1, \quad _n \text{P}_0 =1 \]

と定めます。