9人の生徒を次のように分ける方法は何通りありますか。次のア～エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 6人と3人の2組に分ける。
   \[ \fbox{ア} \quad \text{（通り）} \]
2. 4人と3人と2人の3組に分ける。
   \[ \fbox{イ} \quad \text{（通り）} \]
3. 3人ずつA，B，Cの3つの組に分ける。
   \[ \fbox{ウ} \quad \text{（通り）} \]
4. 3人ずつ3組に分ける。
   \[ \fbox{エ} \quad \text{（通り）} \]

A，B，Cという3つの文字から2つ選んで並べる（順列）ことを考えると，AB，BA，AC，CA，BC，CBといったように，その並べ方の総数は，

\[ _3 \text{P}_2 =6 \ \text{（通り）} \]

になります。しかし，A，B，Cの3つの文字から2つの文字を選ぶ（組合せ）とき，順序は関係なくなるので，ABとBA，ACとCA，BCとCBは同じものだと考えます。つまり，その選び方は(A，B)，(A，C)，(B，C)という3通りになるので，

\[ _3 \text{C}_2 =3 \ \text{（通り）} \]

と表せることになります。

以上のことから，3つの文字から2つの文字を選ぶ選び方（組合せ）の総数は$_3 \text{C}_2$通りあり，そのそれぞれについて$2!$通りの並べ方があるので，3つの文字から2つの文字を選んで並べる（順列）の総数は，積の法則から，

\[ _3 \text{C}_2 \times 2! = _3 \text{P}_2 \]

という関係が成り立つことになります。

一般に，$n$個から$r$個取る順列の場合には，

• $n$個から$r$個選ぶ：$_n \text{C}_r$（通り）
• その$r$個を並べる：$r!$（通り）

というように，「選んで，並べる」ことにより順列が求まるので，

\[ _n \text{C}_r \times r! = _n \text{P}_r \]

という関係が成り立ち，この式は次のように変形することができます。

\[ _n \text{C}_r =\frac{_n \text{P}_r}{r!} \]

この式からもわかるように，区別のあるものを選んで並べる場合（順列）の総数から，その並べ方の総数で割り算することで，区別をなくした場合（組合せ）の総数を求めることができます。

組分けにおいても，それぞれの組の区別がつかないような場合，この組合せの考え方を利用することで，組分けの総数を求めていきます。