【解説】

3つの点を取る円は必ずかくことができますが，4つ以上の点を通る円は必ずかくことができるわけではありません。そこで，ここでは4つの点が同一円周上にある条件（共円条件）について考えます。

次の図のように，円Oの周上に3点A，B，Cをとります。

図の色付きの図形のように，円の弧と弦とで囲まれた図形を弓形といい，弧ABと弧上の点Cを用いて，「弓形ACB」といいます。

ここで，弧ABに対する円周角∠BCAの大きさをxとし，直線ABに対してCと同じ側に点Pをとりますが，点Pのとり方には，次の3つの場合が考えられます。

1. 点Pが弓形ACBの内部にある場合
   
   APの延長と円との交点をQとすると，∠BQAはに対する円周角であるので，円周角の定理から，
   ∠BQA=∠BCA=x
   ∠BPAは，△QPBに着目すると∠QPBの外角になるので，
   
   となり，に対する円周角よりも大きくなります。
2. 点Pが弓形ACBの弧上にある場合
   
   ∠APBはに対する円周角であるので，円周角の定理から，
   ∠BPA=∠BCA=x
3. 点Pが弓形ACBの外部にある場合
   
   APと円との交点をQとすると，∠BQAはに対する円周角であるので，円周角の定理から，
   ∠BQA=∠BCA=x
   ∠BQAは，△PQBに着目すると∠PQBの外角になるので，
   
   となり，∠APBはに対する円周角よりも小さくなります。

以上のことをまとめると，

という関係があることになります。

このことから，4点A，B，C，Pについて，点C，Pが直線ABに対して同じ側にあり，

∠BPA=∠BCA

ならば，点Pは3点A，B，Cを通る円（円O）の円周上に存在する（円の内部や外部には存在しない）ので，4点A，B，C，Pは同一円周上にあることになり，円周角の定理の逆が成り立つことがわかります。

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