角の二等分線

【解説】

角を2等分する半直線を角の二等分線といいます。

ここでは,次の図のような∠AOBの二等分線を作図します。

∠AOBの二等分線を作図するには,まず,点Oを中心とする円をかきます(上図)。このとき,辺OAと辺OBとの交点がわかればよいので,円をすべてかく必要はありません。

次に,辺OAと辺OBとの交点(ここではわかりやすいようにP,Qとします)をそれぞれ中心とするような等しい半径の円をかきます(下図)。このとき,円の半径は,2つの円が交わればどのような長さでもかまいませんが,OPと同じ長さにしておくと作図が楽です。また,2つの円の交点がわかればよいので,円をすべてかく必要はありません。

最後に,点Oから2つの円の交点(ここではわかりやすいようにRとします)を通る半直線を引くと,この半直線(半直線OR)が∠AOBの二等分線になります。

なぜ半直線ORが角の二等分線になるかは,△PORと△QORという2つの三角形が合同になるからです。(三角形の合同を学習してから,下の解説を読んでみてください。)

△PORと△QORにおいて,

PO=QO,PR=QR,OR=OR

と3つの辺が等しいため2つの三角形が合同になります。合同な図形では対応する角の大きさが等しくなるため,

∠POR=∠QOR

となり,半直線ORは∠AOBの二等分線であることがわかります。

このように,角の二等分線は次の手順により作図することができます。

  1. 角の頂点を中心とする円をかく
  2. その円と角を作る2辺との交点を中心とするような等しい半径の円をかく
  3. 角の頂点から,2つの円の交点を通る半直線を引く

また,角の二等分線上の点は,次の図のように2辺から等しい距離にある点の集まりになります。

【例題】

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【演習問題】

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