組合せ

【解説】

いくつかのものを,順序を問題にしないで1組にしたものを組合せといい,n個の異なるものからr個を取り出して作る組合せを,n個のものからr個取る組合せといいます。この組合せの総数は,「組合せ」を意味する英単語「combination」の頭文字「C」を用いて,で表されます。

ここで,「順列」と「組合せ」の違いを理解するために,A,B,Cという3つの文字から2つ選んで並べる(順列)ことを考えると,AB,BA,AC,CA,BC,CBといったように,その並べ方の総数は,

=6(通り)

になります。しかし,A,B,Cの3つの文字から2つの文字を選ぶ(組合せ)とき,順序は関係なくなるので,ABとBA,ACとCA,BCとCBは同じものだと考えます。つまり,その選び方は,

(A,B),(A,C),(B,C)

という3通りになるので,

=3(通り)

と表せることになります。

以上のことから,3つの文字から2つの文字を選ぶ選び方(組合せ)の総数は通りあり,そのそれぞれについて通りの並べ方があるので,3つの文字から2つの文字を選んで並べる(順列)の総数は,積の法則から,

×=

という関係が成り立つことになります。

一般に,n個からr個取る順列の場合には,

  • n個からr個選ぶ:(通り)
  • そのr個を並べる:(通り)

というように,「選んで並べる」ことにより順列が求まるので,

×=

という関係が成り立ちます。そして,この式は次のように変形することができ,この式を用いて組合せの総数を求めます。

【例題】

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