球の表面積と体積

【解説】

次の図のような,中心O,半径rの球を考えます。

球の表面積は,球の中心Oを通る面で切ったときにできる半径rの円(図の色のついた部分)の4倍であることが知られています。つまり,球の表面積をSとすると,次の式で表されます。

S=πr2×4=4πr2

次に,半径rの球を,次の図のような角錐でものすごく細かく分割していきます。

分割した角錐の体積の和が球の体積になりますが,1つ1つの角錐の体積は,

(角錐の体積)=1/3×(底面積)×(高さ)

で求めることができ,角錐の高さはすべてrになります。また,角錐の底面をすべて合わせると球の表面になるので,

(角錐の底面積の和)=(球の表面積)

という関係になっています。このことから,球の体積をVとすると,次のような式で表すことができます。

【例題】

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