根号のついた数

【解説】

根号のついた数と2乗(平方)との間には,次のような関係があります。(ただし,aは正の数とします。)

  1. ()2=a
    は,「aの平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「□2=a」となるような□に当てはまる正の数を表しているので,そのような数を2乗すればもちろんaになります。
  2. (-)2=a
    は,「aの平方根のうち負のもの」を表します。つまり,「□2=a」となるような□に当てはまる負の数を表しているので,そのような数を2乗すればもちろんaになります。
  3. =a
    は,「a2の平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「□2=a2」となるような□に当てはまる正の数のことです。「a2」の平方根には,
    a×a=a2,(-a)2=(-a)×(-a)=a2
    のように,aと-aの2つがありますが,そのうちの正のものであるので,
    =a
    という関係が成り立ちます。
  4. =a
    は,「(-a)2の平方根のうち正のもの」を表します。つまり,「□2=(-a)2」となるような□に当てはまる正の数のことです。この式だけを見ると,□に当てはまるのは
    □=-a
    のように考えられるので,
    =-a
    としたくなりますが,は正の数,-aは負の数であるので等しくはありません。は,「□の平方根のうち正のもの」を表すので注意が必要です。
    (-a)2は,
    (-a)2=(-a)×(-a)=a2
    となるので,も結局と同じものを表します。そのため,-aが「(-a)2の平方根のうち負のもの」を,aが「(-a)2の平方根のうち正のもの」を表すことになるので,
    =a
    という関係が成り立ちます。

【例題】

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【演習問題】

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