根号のついた数

【解説】

根号のついた数と2乗（平方）との間には，次のような関係があります。（ただし，aは正の数とします。）

()²=a
は，「aの平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「□²=a」となるような□に当てはまる正の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろんaになります。
(-)²=a
–は，「aの平方根のうち負のもの」を表します。つまり，「□²=a」となるような□に当てはまる負の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろんaになります。
=a
は，「a²の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「□²=a²」となるような□に当てはまる正の数のことです。「a²」の平方根には，
a×a=a²，(-a)²=(-a)×(-a)=a²
のように，aと-aの2つがありますが，そのうちの正のものであるので，
=a
という関係が成り立ちます。
=a
は，「(-a)²の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「□²=(-a)²」となるような□に当てはまる正の数のことです。この式だけを見ると，□に当てはまるのは
□=-a
のように考えられるので，
=-a
としたくなりますが，は正の数，-aは負の数であるので等しくはありません。は，「□の平方根のうち正のもの」を表すので注意が必要です。
(-a)²は，
(-a)²=(-a)×(-a)=a²
となるので，も結局と同じものを表します。そのため，-aが「(-a)²の平方根のうち負のもの」を，aが「(-a)²の平方根のうち正のもの」を表すことになるので，
=a
という関係が成り立ちます。