多項式の乗法

【解説】

積の形で書かれた式を計算して，和の形の式に書き表すこと（1つの多項式で表すこと）をもとの式を展開するといいます。つまり，「かっこをはずしてバラバラにする」ことです。

(a+b)(c+d)のような「（多項式）×（多項式）」を展開するには，主に次のような2つの方法があります。

1. まとまりを1つのものと考える
2. かっこの中に含まれるすべての項を分配する

そこで，この2つの展開の方法で(a+b)(c+d)を展開してみます。

1. a+bまたはc+dをひとまとまりにして展開する。
• a+b=Aとすると
  (a+b)(c+d)=A×(c+d)
  という形に変形でき，こうすることで「（単項式）×（多項式）」の形になります。そこで，分配法則を利用して
  A×(c+d)=A×c+A×d
  となります。ここで，Aを元に戻してあげると
  A×c+A×d=(a+b)×c+(a+b)×d
  となり，さらに「（多項式）×（単項式）」という形が出てくるので，再度分配法則を用いて
  
  となります。
• c+d=Bとすると
  (a+b)(c+d)=(a+b)×B
  という形に変形でき，こうすることで「（多項式）×（単項式）」の形になります。よって，分配法則を利用して
  (a+b)×B=a×B+b×B
  となります。ここで，Bを元に戻してあげると
  a×B+b×B=a×(c+d)+b×(c+d)
  となり，「（単項式）×（多項式）」という形が出てくるので，再度分配法則を用いて
  
  となります。
2. 1の結果から，結局
   
   のように，多項式の各項を順に分配して積を作り，その和を考えればよいことになります。これは，(a+b)×(c+d)を
   たての長さ；a+b　横の長さ：c+d
   である長方形の面積であると考えて，次の図のように長方形を4つに分割し，それぞれの長方形の面積の和が全体の面積になることから，
   (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
   になるのだと考えると，イメージがしやすいと思います。

【例題】

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【演習問題】

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