多項式の乗法

【解説】

積の形で書かれた式を計算して,和の形の式に書き表すこと(1つの多項式で表すこと)をもとの式を展開するといいます。つまり,「かっこをはずしてバラバラにする」ことです。

(a+b)(c+d)のような「(多項式)×(多項式)」を展開するには,主に次のような2つの方法があります。

  1. まとまりを1つのものと考える
  2. かっこの中に含まれるすべての項を分配する

そこで,この2つの展開の方法で(a+b)(c+d)を展開してみます。

  1. a+bまたはc+dをひとまとまりにして展開する。
    • a+b=Aとすると
      (a+b)(c+d)=A×(c+d)
      という形に変形でき,こうすることで「(単項式)×(多項式)」の形になります。そこで,分配法則を利用して
      A×(c+d)=A×c+A×d
      となります。ここで,Aを元に戻してあげると
      A×c+A×d=(a+b)×c+(a+b)×d
      となり,さらに「(多項式)×(単項式)」という形が出てくるので,再度分配法則を用いて

      となります。
    • c+d=Bとすると
      (a+b)(c+d)=(a+b)×B
      という形に変形でき,こうすることで「(多項式)×(単項式)」の形になります。よって,分配法則を利用して
      (a+b)×B=a×B+b×B
      となります。ここで,Bを元に戻してあげると
      a×B+b×B=a×(c+d)+b×(c+d)
      となり,「(単項式)×(多項式)」という形が出てくるので,再度分配法則を用いて

      となります。
  2. 1の結果から,結局

    のように,多項式の各項を順に分配して積を作り,その和を考えればよいことになります。これは,(a+b)×(c+d)を
    たての長さ;a+b 横の長さ:c+d
    である長方形の面積であると考えて,次の図のように長方形を4つに分割し,それぞれの長方形の面積の和が全体の面積になることから,
    (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
    になるのだと考えると,イメージがしやすいと思います。

【例題】

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【演習問題】

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