多角形の外角の和

【解説】

ここではまず,次の図のような三角形(△ABC)の外角の和(∠a’+∠b’+∠c’)について考えてみたいと思います。

一直線のつくる角は180°であるので,

∠a+∠a’=∠b+∠b’=∠c+∠c’=180°

になります。このことから,

のような関係式を作ることができます。また,三角形の内角の和は180°なので,

∠a+∠b+∠c=180°……②

です。よって,①,②より,

となり,三角形の外角の和は360°であることがわかります。

同じようにしてn角形の場合も考えてみると,

(1つの内角+1つの外角)の和=180°×n

となるので,

(n角形の内角の和)+(n角形の外角の和)=180°×n……③

と表すことができます。また,n角形の内角の和は

であるので,③,④より

となり,多角形の外角の和は,どのような多角形であっても常に360度になります。と,原理的にはそうなりますが,ちょっと説明が難しいですよね。このようになることをもう少し感覚的に考えてみましょう。

まず,自分が回転いすにすわっていると思ってください。そして,先ほどの図において,頂点Aの位置にいてそこからPの方向に向いています。そこから,∠a’だけ回転して頂点B(Q)の方向に向き,頂点Bに向かっていきましょう。頂点Bに着いたらそこで止まり,∠b’だけ回転して頂点C(R)の方に向きます。そして,また頂点Cに向かっていき,頂点Cに着いたら止まり,∠c’だけ回転してAに向かうというようにして△ABCを1周します。イメージできましたか?

最初はPを向いていますね。そこから∠a’,∠b’,∠c’だけ回転したっらまたPの方向を向きました。つまり,1回転したわけです。1回転は360°ですよね。このことから,

∠a’+∠b’+∠c’=360°

になります。このことは,三角形に限ったことではなく,どのような多角形でも1周すれば1回転することになるので,外角の和は360°になります。

【例題】

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【演習問題】

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