多角形の内角の和

【解説】

三角形,四角形,五角形など,いくつかの線分で囲まれた図形を多角形といいます。

対角線は頂点と頂点を結ぶことにより引くことができますが,自分自身と自分の隣の頂点には対角線を引くことができません。つまり,n角形の場合,n個ある頂点から3個の頂点を除いた分だけ,1つの頂点から対角線を引くことができます。このことから,対角線は1つの頂点から,

  • 1つの頂点から引くことのできるn角形の対角線の本数:n-3(本)

だけ引くことができます。

次の図のように,1つの頂点(ここでは,頂点A)から対角線を1本引くと,三角形を1つ作ることができます。

そして,そこから順に対角線を1本ずつ増やすにつれ,できる三角形の個数も1つずつ増えることになります。しかし,最後の1本の対角線を引く場合には,三角形は1つではなく,2つの三角形が作られます。

このことから,多角形を対角線で分割することにより,三角形は対角線の本数よりも1個だけ多く作ることができます。n角形の場合,1つの頂点から引くことのできる対角線の本数はn-3(本)であったので,対角線によってできる三角形の個数は,それよりも1つ多くなるので,

  • n角形の分割できる三角形の個数:(n-3)+1=n-2(個)

となります。そして,「三角形の3つの内角の和が180°」であることがわかっているので,n角形の内角の和は,

  • n角形の内角の和=180°×(n-2)

という式で求めることができることになります。

【例題】

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